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Mariages stables, prix équitables…

Plusieurs acheteurs doivent choisir un objet (par exemple, une maison de vacances), chacun avec ses critères (par exemple, sur la mer, et le plus proche possible de sa résidence principale). Si trop de monde veut le même, que se passe-t-il ? Quel sera le prix ?
Deux populations doivent s’associer en couples (par exemple, ça pourrait être des hommes et des femmes qui se marient), chacun ayant un certain intérêt pour chacun des autres. Quels couples se formeront de manière stable, c’est-à-dire sans que deux individus s’accordent pour s’associer en quittant leurs partenaires respectifs ?
Ces questions reposent sur la recherche d’un équilibre, où chaque individu cherche à maximiser sa propre utilité, mais sont en effet liées à l’optimisation de l’utilité totale. Et sont aussi liées à un problème classique appelé « transport optimal ». C’est le problème où de la masse doit être transportée d’une configuration à une autre, en dépensant le moins d’énergie possible. Transporter une particule de x à y se code mathématiquement de la même manière que marier M. x avec Mme. y, ou qu’attribuer la maison x à l’acheteur y.

Ce même problème a été popularisé par Gaspard Monge au 18e siècle, dans un cadre encore plus général, où le nombre de particules à transporter n’est même pas fini, mais on a affaire à une densité de masse continue, dans l’exemple particulier du déplacement optimal d’un tas de sable vers un trou donné (que Monge présente dans son Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais). Et c’est ce cadre théorique et continue qui fait maintenant, au 21e siècle, l’objet de plusieurs études mathématiques, du fait de ses connections avec de nombreux domaines, tels l’économie mathématique mais également la géométrie, les équations aux dérivées partielles, le traitement d’images…